Sujet : Les principes à partir desquels s'est construite la science mathématique ne sont-ils que des conventions arbitraires ?

Définitions des termes :

• principe : Du latin principium, « commencement », origine » (de princeps, « premier »). Origine, cause première des choses. En logique, loi fondamentale de la pensée (exemple : le principe de non-contradiction). Dans les sciences, proposition première posée au fondement d'un raisonnement ou d'une démonstration. En morale, règle de conduite ou norme des jugements pratiques (exemple : avoir des principes). Pétition de principe : faute logique qui consiste à s'appuyer, au début d'un raisonnement, sur la thèse qu'il s'agit précisément de démontrer.

• science : Ensemble des connaissances portant sur le donné, permettant la prévision et l'action efficace. Corps de connaissances constituées, articulées par déduction logique et susceptibles d'être vérifiées par l'expérience.

• mathématique : Ensemble des sciences hypothético-déductives ayant pour objet les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques et topologiques, les fonctions, le calcul intégral et le calcul des probabilités. Les mathématiques se distinguent des sciences naturelles par le fait que leurs objets sont a priori, cad indépendants de l'expérience sensible.

• convention : S'oppose à ce qui est naturel et à ce qui existe par soi et en soi. Accord humain né du sentiment d'un intérêt commun. «Ce qui résulte d'un accord réciproque, d'une règle acceptée (et non de la nature). Ce qui est admis par un accord tacite. (Le Robert)

• arbitraire : Se dit d'un pouvoir politique qui agit sans tenir compte de la légalité. «Qui dépend de la seule volonté, ne procède pas d'un ordre préétabli ou naturel, n'est pas lié par l'observation de règles.».

Extrait du corrigé : INTRODUCTION - Par opposition aux sciences expérimentales, dont l'objet est contingent, et qui, par suite, aboutissent à des lois contingentes, les mathématiques ont passé pendant longtemps pour la science du nécessaire : ne partent-elles pas, disait-on, de principes nécessaires et les conséquences qui en sont déduites n'en découlent-elles pas rigoureusement ? De nos jours, on tendrait à retourner la comparaison. Le monde qu'étudient le physicien et le chimiste, s'il n'est pas nécessaire en lui-même, s'impose du moins à eux et ils n'ont pas la faculté d'en créer un autre à leur fantaisie. Cette faculté est donnée, au contraire, au mathématicien qui se donne l'objet de son étude; dans cette branche, le savant jouirait de la plus entière indépendance et les bases de départ dépendraient de son libre choix. Que faut-il penser de cette conception ? Les principes à partir desquels s'est construite la science mathématique ne sont-ils que des conventions arbitraires ? I. Si nous prenons la question à la lettre, nous pouvons répondre, sans hésiter, par la négative : ce n'est pas à partir de conventions arbitraires que la science mathématique s'est construite en fait ou historiquement. A. Sans doute, philosophes et savants discutent sur l'origine des principes, c'est-à-dire des propositions que le mathématicien formule au départ de son étude (définitions, axiomes, postulats) et qui servent de fondement à tout son édifice.